Caylay-Hamilton theorem
对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$，定义其特征多项式
$p_A(\lambda)$ 可以写成 $\displaystyle\sum_{i=0}^{n}{c_i\lambda^i}$ 的形式，注意这里的 $\lambda$ 不一定是标量，可以是方阵。当 $\lambda$ 是方阵时，$\lambda^0=I_n$。
Caylay-Hamilton theorem 给出结果：
proof
令 $g_A(\lambda) = \lambda I_n-A$, 则 $p_A=\det(g_A)$。设 $B(\lambda) = adj(g_A)$。
由于 $Xadj(X) = \det(X)I_n$，我们有：
显然，矩阵 $B(\lambda)$ 中每一项里 $\lambda$ 的次数不超过 $n-1$。将 $B(\lambda)$ 按 $\lambda$ 的次数分拆，可以得到
其中 $B_i$ 是 $n$ 阶方阵。
将其代入得：
由于 $\displaystyle p_A(\lambda) = \sum_{i=0}^{n}{c_i*\lambda^i}$， 我们有：
对比 $(2), (3)$ 中的系数，可以得到：
将 $(4)$ 中等式从下往上依次乘以 $A_0, A_1, \dotsc, A_n$, 相加即可得到 $p_A(a) = 0$。